Modelagem da Região de Transição no Gráfico do Fator de Atrito de Moody

Recentemente eu precisei fazer um programa para calcular a perda de carga em um aquecedor de óleo térmico. Como autônomo, o custo para adquirir a licença e renovação anual de um programa comercial apropriado como o Pipe Flow é inviável, mesmo para a versão mais básica.

A alternativa foi programar no computador rotinas de cálculo de perda de carga para os acessórios de tubulação presentes no equipamento além dos segmentos retos e curvos da tubulação que compõe o aquecedor. Excluindo o coeficiente de resistência local (que não é objeto deste texto), o coeficiente de resistência devido ao atrito viscoso é dependente basicamente do fator de atrito (i.e. fator de atrito de Moody ou fator de atrito de Darcy).

Um tempo atrás eu implementei um programa para calcular o coeficiente de atrito de Moody (ver aqui). Naquela ocasião eu simplesmente usei a equação de Colebrook para a região do escoamento turbulento e a equação de Hagen-Poiseuille na região do escoamento laminar, deixando sem modelar a região de transição.

Recentemente, implementei as equações sugeridas em Идельчик (1992) para a região de transição, obtendo o gráfico a seguir, que apesar de ainda conter descontinuidade no início da região do escoamento turbulento, modela, de forma aproximada, a região de transição. Nele, e/D indica a rugosidade relativa da superfície interna do tubo.

Sobrepondo esse gráfico (em cor azul) ao gráfico obtido por Moody e apresentado em Bergman et al. (2011, p. 523) (em cor vermelha) se vê que há boa correlação.

Uma das melhores bibliografias sobre esse assunto é o livro Handbook of Hydraulic Resistance. Eu tinha a quarta edição deste livro (IDELCHIK, 2008), porém ela contém alguns erros em relação às edições mais antigas. Por isso, a fim de eliminar qualquer dúvida, eu busquei a primeira edição em inglês (IDELCHIK, 1966) e também a terceira edição em russo (Идельчик, 1992), que acredito ser a mais acurada.

Além do "clássico" diagrama de Moody, que representa o escoamento em tubos retos, essa bibliografia traz dados empíricos para o escoamento em tubulações levemente curvadas, tanto em tubos de seção transversal cilíndrica, como para tubos de seção transversal quadrada.

Entretanto, as correlações matemáticas apresentadas junto com os gráficos são válidas para faixas específicas de dados, portanto resolvi regredir curvas que se adaptassem à toda faixa de dados experimentais. Como tais gráficos geralmente são representados em escalas logarítmicas, eu adquiri os valores de ordenada e abscissa diretamente em termos do logaritmo dos valores da escala e não dos valores em si.

Desta forma foi possível regredir funções polinomiais de sexto grau correspondentes a cada linha do gráfico da referência. Mostrados em cor vermelha na figura a seguir, os valores calculados do fator de atrito em tubos circulares suavemente curvados aparecem sobrepostos ás linhas pretas, que representam os dados apresentados em Идельчик (1992), onde a ordenada representa o fator de atrito e a abscissa representa o número de Reynolds. Os valores R0/D0 representam a razão entre o raio de curvatura e o diâmetro interno do tubo. A divergência máxima encontrada entre o modelo e os dados é de 2,4%, um desvio aceitável considerando as equações apresentadas na referência.

Já para o caso de tubos de seção transversal quadrada, resultados equivalentes são mostrados no gráfico a seguir. Nele, observa-se que o fator de atrito possui uma região com número de Reynolds entre 1000 e 3000 onde há significativa divergência entre o modelo e os dados da referência. Em parte isso ocorre porque foram usados polinômios de quatro grau para regressão das curvas, entretanto polinômios de grau cinco e seis foram testados, resultando em erros relativamente grandes e espalhados em toda a faixa de número de Reynolds do gráfico. Assim, optei por usar polinômios de grau inferior e assumir um pequeno prejuízo de qualidade apenas em uma faixa restrita de Reynolds.

Por enquanto este é o resumo da experiência de criar o próprio programa de cálculo da perda de carga. Ainda há muitos dados de perda de carga local em acessórios que ainda não foram programados e serão publicados em uma postagem futura.

Referências

Идельчик, И. Е. Справочник По Гидравлическим Сопротивлениям, 3-е изд., москва: Машиностроение, 1992.

Bergman, T. L.; Lavine, A. S.; Incropera, F. P.; DeWitt, D.P. Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 7th ed. Hoboken, 2011.

Idelchik, I. E. Handbook of Hydraulic Resistance, 4th ed., New York: Begell House, 2007.

Idelchik, I. E. Handbook of Hydraulic Resistance - Coefficients of Local Resistance and of Friction, Jerusalem: Israel Program for Scientific Translations LTDA, 1966.