Engenharia Reversa do "Boundary Layer Module" - Parte 1

Introdução

O BLM (Boundary Layer Module) é um módulo de cálculo da camada limite que se desenvolve sobre as paredes internas da câmara de empuxo de motores-foguete, entretanto pode ser aplicado em diversas aplicações envolvendo aerodinâmica e transferência de calor. Em sua concepção original o seu objetivo é predizer a espessura da camada limite em cada posição discreta ao longo do eixo longitudinal do motor-foguete. Dentro de um processo iterativo, essa espessura é adicionada à geometria do motor, permitindo que a região não afetada pela camada limite (i.e. núcleo potencial do escoamento) mantenha a geometria prevista para ótimo desempenho (e.g. o núcleo potencial terá a geometria calculada com o Método das Características, otimizando o empuxo do motor).

O BLM é um dos módulos que compõe um programa maior denominado TDK (Two-Dimensional Kinetic), desenvolvido sob contrato da NASA na década de 80. Além do BLM há um módulo para cálculo das propriedades químicas dos produtos de combustão e outro para resolver o Método das Características.

Os objetivos desta postagem são:

i) Registrar cópia de segurança em formato digital do manuscrito onde realizei a transformação de coordenadas das equações e o processo de discretização no domínio de cálculo;

ii) Divulgar os modelos matemático e numérico do BLM, de forma que outros entusiastas possam conhecer, discutir , apontar possíveis erros e também programar sua própria versão do programa.

Na data de publicação desta postagem os modelos matemático e numérico estão quase concluídos. Chegou-se nas mesmas equações transformadas da referência bibliográfica Nickerson (1985, part 2, p. 43), exceto pelo modelo de turbulência em coordenadas transformadas, que ainda não foi reproduzido.

Aqui na parte 1 desta postagem são apresentadas as equações dos princípios físicos e as condições de contorno que os autores da referência bibliográfica escolheram. Na parte 2 é conduzida a transformação da equação de balanço da quantidade de movimento linear (QML). Na parte 3 é transformada a equação do princípio de conservação da energia. Nas partes 4 e 5 são desenvolvidos os modelos numéricos das equações da QML e da energia, respectivamente. Em postagens posteriores se pretende apontar resultados numéricos da minha versão do BLM.

O Modelo Matemático

O modelo matemático é constituído pelas equações aproximadas da camada limite que descrevem o princípios de conservação da massa, o balanço da quantidade de movimento linear e a conservação da energia para escoamentos compressíveis bidimensionais em coordenadas retangulares ou axissimétricos (CEBECI 2004, p. 64), respectivamente mostradas pelas Eq. (1-3) a seguir.

Nestas equações, ρ é a massa específica do fluido, μ a viscosidade dinâmica e p a pressão estática. As variáveis u e v são as componentes da velocidade nas direções x e y, respectivamente, onde x é a distância medida ao longo da superfície (que pode apresentar curvatura suave) a partir do ponto onde a camada limite inicia seu desenvolvimento e y é a componente perpendicular à superfície. A entalpia de estagnação isentrópica é representada por H e o número de Prandtl do fluido por Pr. Vale ressaltar que as propriedades do fluido ρ, u, v e p são médias ponderadas na massa (i.e. médias de Favre), portanto:

Nas Eqs.(1-3) o expoente k é usado para selecionar o sistema de coordenadas usado para descrever o escoamento, sendo tal artifício muito útil quando se objetiva escrever um programa de computador para resolver essas equações. O raio da superfície que delimita e sobre a qual se desenvolve a camada limite é representado por r, e dado pela Eq.(5a) no caso de escoamentos externos e Eq.(5b) para escoamentos internos, como representado esquematicamente na Figura 1.

Se k=0, o termo r^k resulta 1 e a equação resultante representa a equação escrita em coordenadas retangulares. Caso k=1, então aparece o raio do corpo de revolução r sobre o qual a camada limite se desenvolve. Como a superfície pode ter curvatura, então aparecerá um ângulo α entre a horizontal e a direção x, que é tangente à superfície de revolução, conforme mostrado à esquerda na Figura 1 para escoamentos internos e à direita para escoamentos externos.

Figura 1. Relações geométricas para escoamentos internos e externos em geometrias axissimétricas

Nota-se na Figura 1 que tanto faz se a camada limite se desenvolve externamente à superfície, produzindo um escoamento externo ou se ela se desenvolve dentro de um duto de seção transversal variável, formando um escoamento interno. É interessante notar que a variação do raio da superfície de revolução ao longo do seu eixo produz efeito sobre a razão r ⁄ r_0 proporcional ao cos⁡α.

As condições de contorno para resolver as equações diferenciais Eq. (1-3) são:

onde H é a entalpia de estagnação isentrópica do fluido, T é a sua temperatura, δ (delta) é a espessura da camada limite (i.e. onde u atinge 99% do valor de u_e) e os sub-índices w e e indicam que o valor da propriedade é medido na parede e imediatamente fora da camada limite, respectivamente.

As Eq.(1-3) requerem ainda que seja especificada a condição inicial do escoamento e um modelo de turbulência para descrever o tensor de tensões de Reynolds. Usando os conceitos de viscosidade turbulenta (nu_t) e número de Prandtl turbulento (Pr_t) em um modelo algébrico, tem-se as seguintes relações para as componentes do tensor de tensões

Do ponto de vista matemático, dentro da camada limite a solução das Equações de Navier-Stokes satisfaz a condição de não deslizamento no contato do escoamento com a superfície, entretanto ela não resolve o perfil de velocidades potencial suficientemente distante da superfície (PAPANASTASIOU et al. 2000, p.299). Assim, é necessário especificar as propriedades do escoamento no limite de penetração da camada limite dentro do escoamento potencial. Este limite de penetração é denominado espessura da camada limite δ e corresponde a região além da qual deixa de haver difusão de vorticidade.

Em Nickerson et al (1985) é descrita uma estratégia inteligente para dimensionar a geometria da câmara de empuxo de um motor-foguete:

i) Com base nos dados do projeto, dimensiona-se a câmara de combustão e a porção convergente da tubeira, até atingir a garganta;

ii) Com base nas propriedades na garganta, encontra-se a geometria da seção divergente da tubeira com o Método das Características;

iii) Com base nas propriedades do escoamento em cada ponto discreto, resolve-se as equações aproximadas da camada limite, encontrando sua espessura, além de outras propriedades;

iv) Adiciona-se a espessura da camada limite à geometria inicialmente prescrita para a tubeira (possivelmente desde o início da câmara de combustão);

v) Repete-se o processo até que a espessura da camada limite deixe de apresentar variação significativa entre duas iterações consecutivas.

Considerando que o escoamento adjacente é invíscido e a variação de energia potencial, então vale a Equação de Euler em regime permanente:

Na camada limite, o gradiente de pressão é mais significativo na direção paralela ao escoamento, portanto dp⁄dx=∂p⁄∂x, assim a Eq.(8) substituí dp⁄dx diretamente na Eq.(2), deixando-a escrita inteiramente em termos da velocidade imediatamente fora da camada limite.

As Eq(1-3) são equações diferenciais parciais não homogêneas. Os dois métodos mais empregados na sua solução são: (i) Separação de Variáveis: onde a incógnita é escrita como o produto de duas funções, cada uma função de apenas uma variável independente e; (ii) a Solução por Similaridade, onde a solução é escrita como função de uma única variável chamada similar, que por sua vez é função das duas variáveis independentes. Na Separação de Variáveis, em vez de resolver uma equação diferencial parcial, troca-se ela por um par de equações diferenciais ordinárias, cada uma função de uma variável independente.

Já na Solução por Similaridade troca-se a equação diferencial parcial por uma única equação diferencial ordinária, função da variável similar η. No caso da camada limite fluidodinâmica, a forma do perfil de velocidades é representado por f', onde f'=∂f ⁄ ∂η. O perfil de velocidades é pensado como adimensionalizado em relação à velocidade no escoamento invíscido, imediatamente forma da camada limite u_e (x), ou seja, f'=u ⁄ u_e. Os detalhes da Solução por Similaridade da equação de balanço da quantidade de movimento linear (QML) é tratada na parte 2 desse artigo e a do princípio de conservação da energia na parte 3.

Referências Bibliográficas

Cebeci, T. Analysis of Turbulent Flows, 2°ed., Elsevier: Amsterdam, 2004.

Nickerson, G. R., Dang, L. D., Coats, D. E. Engineering and Programming Manual - Two-Dimensional Kinetic - Reference Computer Program - TDK, Carlson City: Software and Engineering Associates, Inc., 1985. Relatório Técnico.

Papanastasiou, T. C., Georgiou, G. C., Alexandrou, A. N. Viscous Fluid Flow, Boca Raton: CRC Press, 2000.