Engenharia Reversa do "Boundary Layer Module" - Parte 2

Nesta segunda postagem da série sobre a engenharia reversa do programa Boundary Layer Module (BLM) é detalhada a transformação de coordenadas da equação da QML (balanço da quantidade de movimento linear) do domínio físico para um domínio transformado. O objetivo dessa transformação é não resolver o problema no domínio físico, em geral de geometria complexa, mas sim em um domínio transformado, mais simples e de dimensões unitárias. A estratégia consiste em encontrar a equação no sistema transformado que é análoga àquela do domínio físico. Parte da estratégia é selecionar uma função corrente que permite resolver a equação da QML simultaneamente com a equação da conservação da massa.

A primeira parte da postagem pode ser lida neste link, por isso aqui a equação da QML será apresentada sem maiores detalhes e concentrar-se-á no processo de transformação de coordenadas. A nomenclatura das variáveis empregadas aqui é aquela tradicionalmente utilizada na literatura e pode ser encontrada no link supracitado.

A equação aproximada da camada limite que contabiliza o balanço de quantidade de movimento linear para escoamentos turbulentos de fluido compressível em coordenadas retangulares (k=0) e axissimétricas (k=1) é

Na corrente livre (escoamento invíscido), vale a Equação de Euler:

O tensor de tensões de Reynolds, que representa as flutuações turbulentas pode ser expresso por

O primeiro passo é escolher a forma da variável dependente definindo uma função corrente ψ (psi) de forma que a equação da conservação da massa

seja automaticamente satisfeita. Em Nickerson et al. (1985, part 2, p. 43) ψ é dada pela Eq. (5), de forma que as relações dadas pela Eq. (6) atendem à equação da conservação da massa, Eq.(4).

Os autores justificam o emprego das seguintes variáveis transformadas para possibilitar a condição inicial do problema (não mostrado na parte 1 da postagem). Segundo os autores, tais funções estabelecem um ponto de estagnação à montante e reduzem a sensitividade das soluções ao espaçamento na direção longitudinal.

Substituindo-se as Eqs. (2,3,6,7) na Eq. (1) resulta na versão da equação da QML que será manipulada mais adiante:

Em paralelo à transformação de coordenadas, este tópico exemplifica a técnica de solução de equações diferenciais denominada Solução por Similaridade. Neste método, a equação diferencial parcial que se deseja resolver é substituída por uma equação diferencial ordinária. Isso é feito adotando-se uma variável similar, que descreve como ambas as variáveis independentes da equação diferencial parcial original se relacionam entre si. Aqui utilizaremos a variável η=η(ξ(x),y) (eta) para representar essa variável similar. A sua relação com as demais variáveis do problema pode ser vista na Figura 1, onde ψ (psi) é a função corrente, descrita mais adiante no texto.

Figura 1. Esquema de dependência das variáveis principais do problema

Nota-se nesta figura que eta não é a única variável no domínio transformado, dividindo espaço com csi ξ(x), porém csi não é uma variável similar, uma vez que carrega informação da transformação de coordenadas da direção física x apenas. Em outras palavras, csi deforma o espaço físico na direção x de forma que as coordenadas correspondentes no domínio transformado sejam coaxiais e de comprimento unitário.

Já eta é função de x e y, portanto carrega a informação de como a camada limite de velocidade (no caso da equação da QML) se desenvolve a partir do ponto onde se forma.

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A fim de organizar a dedução, agora são calculadas todas as derivadas que aparecem na Eq. (8) em termos das variáveis transformadas. Na Eq. (9) aparece uma derivada de eta em relação à csi mantendo y constante que foi chamada de A. Lembro que eu não encontrei nenhum indício dessa derivada ao ler a documentação do TDK (NICKERSON et al.; 1985). Diferente do que é feito aqui, lá eram dadas apenas as equações no domínio físico e no domínio transformado, sem mostrar os passos intermediários. Naquela ocasião eu cheguei à conclusão que A deveria se cancelar no final do processo de transformação e foi necessário pôr fé neste pressuposto para prosseguir com os cálculos, posteriormente recompensados, como veremos no final da dedução.

∂ψ/∂x:

∂ψ/∂y:

∂u/∂x:

∂u/∂y:

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Substituindo as Eqs.(9-12) na Eq. (8) temos:

Dividindo a Eq. (13) por

temos:

Fazendo simplificações e usando a viscosidade cinemática ν

a Eq. (14) fica

Multiplicando a Eq. (15) por ξ/u_e temos:

Manipulando apenas o terceiro membro do lado esquerdo da Eq. (16):

onde

e definindo o número de Reynolds transformado como

tem-se que o terceiro termo do lado esquerdo da Eq. (16) fica

Usando as mesmas definições e nomenclatura de Nickerson et al. (1985, p. 2.43-2.44) temos:

Nestas definições c e C são termos de compressibilidade, m_2 representa o efeito da aceleração / desaceleração do escoamento potencial sobre a camada limite. O termo m_3 representa o parâmetro de transferência de massa e o termo b é uma combinação do efeito de compressibilidade, do regime do escoamento (laminar, transição ou turbulento) e do efeito da curvatura transversal do domínio (a ser discutido em uma postagem futura).

Substituindo a Eq. (17) e os termos dados pelas Eqs.(18-21) na Eq. (16) temos

Finalmente se pode observar que a equação transformada independe de A. Hoje isso parece óbvio, mas naquela ocasião não era! Rearranjando os termos da Eq. (22) obtém-se a versão transformada da Eq. (1):

Referências Bibliográficas

Nickerson, G. D., Dang, L. D., Coats, D. E. Engineering and Programming Manual - Two Dimensional Kinetic - Reference Computer Program - TDK, Carlson City: Software and Engineering Associates, Inc., 1985. Relatório Técnico.