Não é incomum que na literatura especializada de Mecânica dos Fluidos e de Transferência de Calor as soluções das Equações Aproximadas da Camada Limite sejam resolvidas empregando o Método da Similaridade. Entretanto, raramente a solução é apresentada em detalhes, geralmente tomando muito do tempo do aluno que deseja aprender esse método ou mesmo desestimulando o seu engajamento com este tipo de conteúdo.
Também tenho notado que grades curriculares de alguns cursos de engenharia mecânica têm simplificado matérias básicas, de forma que é comum que os alunos não sejam ensinados a realizar transformações de coordenadas, como explorado aqui. Por isso eu aproveitei algumas notas de aula para escrever este artigo.
O fluido é considerado incompressível e a única fonte de movimentação provém do contato com uma parede vertical aquecida. Ao ser aquecido, o fluido se expande, ficando ligeiramente menos denso que o fluido distante da parede. Este desvio de equilíbrio produz um jato de parede ascendente (no caso da parede ter temperatura mais elevada que a do fluido) ou descendente (no caso da parede estar em temperatura menor que a do fluido).
Segue na tabela abaixo a nomenclatura utilizada. Entende-se que o leitor está familiarizado com mecânica dos fluidos e transferência de calor, por isso explanações adicionais não são dadas.
As Equações Aproximadas que descrevem o Princípio de Conservação da Massa, Balanço da Quantidade de Movimento (direção vertical) e Conservação da Energia, nesta ordem, são apresentadas a seguir:
Onde na Eq.(2) aparece o termo de empuxo (último termo no lado direito), obtido a partir da Aproximação de Boussinesq. É este termo que induz movimento no fluido.
O Método de Solução por Similaridade busca escrever as equações diferenciais parciais em termos de uma única variável dependente, dita variável similar (representada pela letra grega etta, parecida com um n porém com uma 'perna' mais comprida). Etta é escrita como função das duas variáveis independentes do sistema de equações (1-3), x e y e definido nas Eq.(4-5), que na verdade são equivalentes:
Pode-se pensar em etta como a posição na direção transversal ao escoamento na camada limite (x) dividida pela espessura local da camada limite térmica. Usando argumentos de Análise de Escala (não mostrados aqui), sabe-se de antemão que as espessuras das camadas limite fluido-mecânica e térmica são proporcionais ao inverso da raiz quarta do Número de Rayleigh, Ra, definido juntamente com etta na Eq.(5). É importante mencionar que as equações encontradas aqui são ligeiramente diferente da bibliografia em geral. Isto porque em geral usa-se o Número de Grashof Gr em vez do número de Rayleigh Ra na definição da variável similar (Eq.(5)). A relação entre eles é Ra=Gr Pr.
Também define-se o perfil de velocidade vertical adimensional G, a partir do qual escreve-se uma expressão para a velocidade vertical v, cujo perfil é mostrado na figura da direita no início deste artigo.
Da definição de função corrente (letra grega psi) em termos da velocidade vertical v, encontra-se uma relação de psi em função das variáveis da convecção natural externa:
A função corrente, dada pela Eq.(9) é mostrada na figura da esquerda no início deste artigo e representa as curvas fechadas com a orientação de movimentação do fluido. Tipicamente é até este ponto que livros como o "Convection Heat Transfer" do Adrian Bejan explicam! Os demais passos aqui mostrados até chegar na Eq.(22) geralmente não são apresentados nos livros. Embora se trate apenas de manipulações algébricas, em geral os alunos têm dificuldade de entender alguns desses passos.
Primeiro são calculadas as derivadas da variável similar em função das variáveis independentes do problema, ou seja, deriva-se a Eq.(5) em função de x e de y. Nota-se que a derivada de etta em relação à y ocorre usando a Regra da Cadeia, pois além de y aparecer explicitamente na Eq.(5), aparece também implicitamente no número de Rayleigh Ra.
Com as derivadas de etta é possível obter a componente horizontal da velocidades u a partir da definição de função corrente, onde u representa a derivada da função corrente na direção y. Isto é feito a seguir, porém note que o y^3 dentro da variável Ra^(1/4) é retirado de lá, ficando y^(3/4). Obs: O símbolo ^ está sendo usado aqui para indicar o expoente de uma potência. Também note que um termo foi artificialmente multiplicado por y/y. Faz-se isso porque y/y=1, não alterando o termo da equação, porém o y do numerador é usado para a manipulação algébrica enquanto o do denominador não:
Em seguida, são calculadas as derivadas da função corrente, Eq.(9) em relação à x, assim como algumas derivadas cruzadas que aparecerão na transformação de coordenadas da equação da quantidade de movimento e da energia, que serão detalhadas mais adiante na explicação.
Finalmente tem-se todas as derivadas da função corrente em função das variáveis transformadas. Toma-se então a Equação Aproximada da Quantidade de Movimento Linear, Eq.(2) e efetua-se sua transformação conforme os passos a seguir. Novamente são detalhadas algumas manipulações algébricas que permitem o aparecimento do Ra e de etta^4. Para a transformação de (T0-Tinfinito) em theta ver a Eq.(18) mais adiante.
A Eq.(17) é a Equação de Balanço da Quantidade de Movimento Linear em termos da variável adimensional F (que não possui um sentido físico, mas que pode ser entendida como a função posição transformada das partículas do fluido) e do perfil de temperatura adimensional theta.
Uma vez transformada a equação da quantidade de movimento, faz-se o mesmo com a Equação do Princípio de Conservação da Energia, Eq.(3), mas antes faz-se a adimensionalização da temperatura dentro do jato pela diferença entre a temperatura da parede T0 e do fluido fora do jato ascendente Tinfinito. A partir desta definição são calculadas as derivadas de primeira e segunda ordem da temperatura em x e a derivada da temperatura na direção y.
Substituindo essas derivadas e as velocidades u e v em termos da função corrente e esta em função das variáveis transformadas tem-se a Equação da Conservação da Energia em termos da variáveis de similaridade, Eq.(22)
As Eq.(17) e Eq.(22) representam a solução de similaridade para o problema da convecção natural em parede com temperatura constante. Em geral eu sempre mostro uma solução numérica para as equações que compõem o modelo matemático, mas desta vez eu deixarei isso para um próximo artigo, pois esse já ficou bastante extenso.
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